X²（称卡方）检验用途较广，但主要用于检验两个或两个以上样本率或构成比之间差别的显着性，也可检验两类事物之间是否存在一定的关系。

一、两个率的比较

（一）X²检验的基本公式　下页末行的例3.1是两组心肌梗塞病人病死率的比较，见表3.5，其中对照组未用抗凝药。两组病人的病死率不同，抗凝药组为25.33%，对照组为40.8%。造成这种不同的原因可能有两种：一种是仅由抽样误差所致；另一种是两个总体病死率确实有所不同。为了区别这两种情况，应当进行X²检验。其基本步骤如下：

1．首先将资料写成四格表形式，如表3.6。

将每个组的治疗人数分为死亡与生存两部分，各占四格表中的一格，这些数字称为实际频数，符号为A，即实际观察得来的数字。

2.建立检验假设　为了进行检验，首先作检验假设：两种疗法的两总体病死率相等，为35%（即70/200），记为H₀：π₁=π₂。即不论用或不用抗凝药，病死率都是35%，所以亦可以换一种说法：病死率与疗法无关。

上述假设经过下面步骤的检验后，可以被接受也可以被拒绝。当H₀被拒绝时，就意味着接受其对立假设即备择假设H₁。此例备择假设为两总体病死率不相等，记为H₁：π₁≠π₂

因为我们观察的是随机现象，所以无论是接受或拒绝H₀都冒有一定风险，即存在着错判的可能性。一般要求，当错误地被拒绝的概率α不超过一定的数值，如5%（或0.05），此值称为检验水准，记为α=0.05。

3．计算理论频数　根据“检验假设”推算出来的频数称理论频数，符号为T。计算方法如下：假设两总体病死率相同，都是35.0%，那么抗凝血组治疗75人，其死亡的理论频数应为75×35.0%=26.25人，而生存的理论频数为75-26.25=48.75人。用同样方法可求出对照组的死亡与生存的理论频数，前者为43.75人。后者为81.25人。 然后，把这些理论频数填入相应的实际频数格内，见表3.6括号内数字。

计算理论频数也可用下式（3.4）

T_RC=n_Rn_C/N(3.4)

式中，T_RC为R行与C列相交格子的理论频数，n_R为与计算的理论频数同行的合计数，n_C为与该理论频数同列的合计数，N为总例数。

例如；表3.6第一行与第一列相交格子的理论频数（T_1１）为

T_1１＝75×70/200=26.25

用两种方法计算，结果是相同的。

4．计算χ²值，计算χ²值的基本公式为：

X²=∑（A-T）²/t　（3.5）

式中，A为实际频数，T为理论频数，∑为求和符号。

将表3.6里的实际频数与理论频数代入式（3.5）即求得χ²值。此例χ²=4.929。

从式3.5中可看出，实际频数与理论频数之差（A-T）愈小，所得的χ²值就愈小，理论频数是根据检验假设推算出来的，若与实际频数相差不大，说明假设与实际情况符合，于是就接受H₀，认为两病死率无显著差别；反之，若（A-T）大，则χ²值亦大，说明假设与实际不符，就拒绝假设，认为两病死率有差别。但χ²值大还是小，要有一个比较的标准，要查χ²值表（附表1），查χ²值表前先要定自由度。

5．求自由度　自由度是数学上的一个名词。在统计中，几个数据不受任何条件（如统计量，即样本特征数）的限制，几个数据就可以任意指定，称为有几个自由度。若受到P个条件限制，就只有n-p个自由度了。例如在四格表中有四个实际频数，如没有任何条件限制，则4个数字都可任意取值，有4个自由度，当a+b,，c+d，a+c，b+d都固定后，在a、b、c、d四个实际频数中，只能有一个频数可任意指定了，因此，四格表的自由度为1。其计算公式为：

ν=（R-1）（C-1） （3.6）

式中，ν为自由度，R为横行数，C为纵列数。

四格表有2行和2列（注意：总计与合计栏不算在内）。因此ν=(2-1)(2-1)=1。

6．求P值，作结论　根据自由度查χ²值表（附表1）。此表的左侧ν为自由度，表内数字χ²值，表的上端P是从同一总体中抽得此样本χ²值的概率。三者关系是：在同一自由度下，χ²值越大，从同一总体中抽得此样本的概率P值越小；在同一P值下，自由度越大，χ²值也越大。χ²值与概率P呈相反的关系。χ²检验的常用界值为：

χ²<χ²_0.05（）P>0.05 在α=0.05水准处接受H₀，差别不显著

χ²_0.05≤χ²<χ²_0.01()0.05≥P>0.01在α=0.05水准处拒绝H_O，接受H₁，差别显著

χ²≥χ²_0.01（）P≤0.01 在α=0.01水准处拒绝H_O，接受H₁，差别显著

这里α是预定的检验水准。χ²_0.05（）是当自由度为ν时与P=0.05相对应的χ²值，简称5%点，χ²_0.01（）是与P=0.01相对应的χ² 值，简称1%点。

当ν=1时，χ²_0.05（1）3.84，χ²_0.01（1）=6.63。本例自由度为1，求得χ²=4.929,介于3.84与6.63之间，或写成χ²_0.05（1）<χ²<χ²_0.01（1）。由于与3.84对应的纵行P=0.05，与6.63对应的纵行P=0.01，因此与样本χ²=4.929相应的概率介于0.05与0.01之间，写成0.05>P>0.01。在α=0.05水准处拒绝H₀，接受H₁，两总体率不等。对照组的病死率较抗凝血组高。

在α=0.05水准处拒绝H₀，说明若在同样情况下作100次判断，将有5次或不到5次的机会，将原没有差别的两总体率错判为有差别，或说这样判断犯I型错误的概率不超过5%。

下面将实例的检验步骤集中列出。

例3.1　两组心肌梗塞病人的病死率可见于表3.5，其中对照组未用抗凝药。抗凝血组病死率为25.33%，对照组为40.80%，问两组病死率有无显著差别？

表3.5　两组心肌梗塞病人病死率比较

组别 治疗人数 死亡人数 病死率（%） 抗凝血组 75 19 25.33 对 照 组 125 51 40.80 总 计 200 70 35.00

检验步骤如下：

1．将资料列成四格表形式，如表3.6。

表3.6　四格表式样

　 死亡 生存 合计 抗凝血组 19(26.25) 56(48.75) 75 对照组 51（43.75） 74(81.25) 125 总 计 70 130 200

2．H₀：两疗法的总体病死率相同，即_π1=_π2

H₁：两疗法的总体病死率不同，即_π1≠_π2

α=0.05

3．求理论频数

抗凝血组：

死亡人数为75×35.0%=26.25人

存活人数为75-26.25=48.75人

对照组：

死亡人数为125×35.0%=43.75人

存活人数为125-43.75=81.25人

把理论频数填入相对应的实际频数格内，见表3.6括号内数字。

4．求χ²值 将表3.6里的数值代入式（3.5）得，

5．求自由度，确定P值，作结论

ν=（2-1）（2-1）=1，χ²_0.05（1）=3.84,χ²_0.01（1）=6.63,

本例χ²=4.929,χ²_0.05（1）<χ² <χ²_0.01（1），则0.05>P>0.01，在α=0.05水准处拒绝H₀，接受H₁，即两总体病死率不等，对照组病死率较抗凝血组高。

上例告诉我们，两个样本病死率一大一小，在未作检验之前，很难说它们两总体率是否有差别，为了作出正确判断，作X²检验。先假设两总体病死率相同，推算理论频数，由实际频数与理论频数计算χ²值，二者相差越大，χ²值也越大。本例得χ²=4.929，根据自由度为1时的χ²分布推断，从同一总体内抽样，出现χ²值等于或大于4.929的概率较小，每一百次中在5次以下，1次以上，因此检验假设被拒绝，而判断为有显著差别。

（二）连续性校正公式　χ²检验是以连续的光滑曲线做根据的，当自由度为1时，χ²检验所得的概率容易偏低，因些需要校正，校正后的χ²值比不校正的小一些，校正公式是：

（3.7）

公式中A-T前后两条直线是绝对值的符号。

将表3.5资料代入式（3.7）得：

检验两个率相差的显著性时（此时自由度为1），理论上都可用校正公式。但当用公式（3.5）求出的χ²值小于3.84时，相应的P值大于0.05，表示两个率相差不显著，校正后χ²值更小，仍得同样结构，就无须校正；当用未校正公式求出的χ²值远远超过3.84时，校正后的结论仍相同，在此种情况下也可不校正；当自由度为2及以上时，则不必校正。

当用公式（3.5）求出的χ²值略大于3.84时，校正最为必要，往往会改变原来的结论，举例如下。

例3.2表3.7是六六六粉的两种配方进行野外烟剂灭黄鼠实验的观察结果。

表3.7　六六六粉两种配方灭黄鼠的效果

烟薰后鼠洞情况 合 计(实验观察洞数) 灭洞率（%） 未盗开 盗　开 04号配方 13(16.63) 9(5.37) 22 59.1 05号配方 80(76.37) 21(24.63) 101 79.2 总 计 93 30 123 75.6

现用公式（3.5）及式（3.6）分别计算χ²值如下：

校正后的χ²值小于3.84，P>0.05，在α=0.05的水准处接受H₀，认为两种配方灭黄鼠效果无显著差异，这相结论是比较合理的，如果不经校正就会得出错误的结论。

（三）四格表中求χ²的专用公式　用上述基本公式（3.5）求χ²值，需要求出与实际频数一一对应的理论频数，运算较繁。在四格表中，用下列专用公式较为简便。

（3.8）

式中a、b、c、d为四格表中的实际频数，N表示总例数（即N=a+b+c+d）。

现仍以表3.5资料为例，先写成四格表形式，如表3.8。

表3.8　四格表求χ²值专用公式的符号

　 死 亡 生存 合 计 抗凝血组 19(a) 56(b) 75(a+b) 对照组 51(c) 74(d) 125(c+d) 　 70（a+c） 130(b+d) 200(N)

将实际频数代入式（3.8）得，

这里用专用公式求得的χ²值与前面用基本公式求得的结果完全不同，有时这两个公式求得的结果小数点后几位可能稍有出入，这是由于受小数四舍五入的影响。

前面已介绍了连续性校正公式（3.7），为使运算更为简便，下面列出专用公式的连续性校正公式（3.9），并以表3.8资料代入计算如下：

（3.9）

所得结果与式(3.7)求得的一致。

二、多个率或多个构成比的比较

（一）2×K表的专用公式，前面已讨论了，两个率的比较用四格表专用公式计算χ²值较为简便。如果是多个率比较，就要列成2×K表。这里的K暂为所比较的组数，2为每个组内所划分的类型数。求χ²值时本可用基本公式计算，但以用下列专用公式为便：

（3.10） （3.11）

表3.9　2×K表形式之一

a₁
a₂
┆
┆ b₁
b₂
┆
┆ n₁
n₂
┆
┆ ∑a_i ∑b_i N

公式中符号的意义参阅表3.9，以上两个公式的计算结果是完全一样的。

例3.3 某地观察磺胺三甲氧吡嗪加增效剂（吡嗪磺合剂）预防疟疾复发的效果，用已知有抗疟疾复发效果的乙胺嘧啶和不投药组作对照，比较三组的疟疾复发率，资料如表3.10，问三组复发率有无显著差别？

表3.10　三个组的疟疾复发率

组　别 观察例数 复发例数 复发率（%） 吡嗪磺合剂
乙胺嘧啶
对　照 1996
473
484 76
27
53 3.81
5.71
10.95 合　计 2953 156 5.28

χ²检验步骤如下：

1．将表3.10资料写成2×K表形式，见表3.11。注意：这里必须把各组的观察例数分为复发和未复发两部分，这样表3.10就为写成2×3表。

表3.11　三个组疟疾复发率的比较

　 复发 未复发 合 计 吡嗪磺合剂 76 1920 1996 乙胺嘧啶 27 446 473 对 照 53 431 484 合 计 156 2797 2953

2．H₀：三个总体复发率相同

H_１：三个总体复发率不全相同

α=0.05

3．求χ²值 将表3.11的数值代入式（3.10）（因为在表3.11中，各组的a值较小，计算较方便）得：

4．求自由度，确定P值，作结论

ν=（K-1）（2-1）=（3-1）（2-1）=2，查χ²值表得χ²_0.01(2)=9.21，本例χ²=39.92>χ²_0.01(2)，P<0.01,在α=0.05的水准处拒绝H₀，接受H₁，即三个组的复发率有显著差别。

本例的结论是三个组的复发率有显著差别，因此，还需进一步说明三组中那两组有差别，可用四格表对每两个率进行假设检验。本例的检验结果是：吡嗪磺合剂与对照组比（P<0.01），乙胺嘧啶组与对照组比（P<0.01），而吡嗪磺合剂与乙胺嘧啶比（P>0.05），说明吡嗪磺合剂有预防疟疾复发的作用，其效果不低于乙胺嘧啶。

本例2×K表的2是指得发、未复发两项，K为比较的组数，K=3。如果比较组数只有2，而构成每组的项数则多于2，如甲状腺肿的型别构成可分为弥漫型、结节型、混合型三种。这类资料亦同样可用2×K表专用公式进行检验。这时把2作为比较组数，K作为项数，检验方法同上，表3.12是2×K表的另一种形式。

表3.12　2×K表形式之二

a₁ a₂ …… ∑a_i∑b_i b₁ b₂ …… n₁ n₂ …… N

例3.4，为研究不同地域甲状腺型别的构成有无显著差别，某省对两个县的居民进行甲状腺肿调查，得资料如表3.13，问甲乙两县各型甲状腺肿患者构成比有无显著判别？

表3.13　某省甲乙两县甲状腺肿患者型别构成比较

县名 弥漫型 结节型 混合型 合计 甲县 486 2 4 492 乙县 133 260 51 444 合计 619 262 55 936

检验步骤如下：

1．H₀：两总体甲状腺肿型别构成相同

H_1：两总体甲状腺肿型别构成不同

α=0.05

2．求χ²值， 将表3.13中的数值代入式3.10得：

3．求自由度，确定P值，作结论。

ν=（3-1）（2-1）=2，查χ²值表得χ²_0.01(2)=9.21,本例，χ²=494.36，P<0.01,在α=0.05水准处拒绝H₀，接受H₁，甲、乙两县甲状腺肿型别构成有差别（P<0.01）。甲县以弥漫型为主，而乙县结节型较多，地域与患者的型别构成具有一定的关系。

此类资料经χ²检验作结论，如果不显著，说明两组资料的构成比来自同一总体，没有显著差别。如果结论显著，说明两组的构成比来自不同总体，差别有显著性。同时要指出两组构成的主要区别。

（二）R×C表的通用公式当资料的行数和列数都超过2时称R×C表。对此种资料作假设检验时，可用基本公式（3.5）,但运算较繁，如果用R×C表的通用公式计算χ²值，较为简便。

　　　　　　（3.12）

式中，A_ij为i行第j列的实际频数，n_i为第i行的合计数，n_j为第j行列的合计数，N为总频数。

这个公式也系由基本公式（3.5）推导出来，式（3.12）也可用以求四格表、2×K表资料的X²值，故称通用公式，用此公式不需计算理论频数，与基本公式（3.5）相比，较为简便。

例3.5某院肝胆外科在手术中观察了胆结石的部位与类型得资料如表3.14,试分析两者间有无关系存在？

表3.14　胆结石类型与部位的关系

结石部位 总例数 例 数 百　分　比 胆固醇结石 胆红素结石 其它 胆固醇结石 胆红素结石 其它 胆囊 118 70 16 32 59.3 13.6 27.1 肝外胆管 75 12 39 24 16.0 52.0 32.0 肝内胆管 29 2 20 7 6.9 69.0 24.1 合计 222 84 75 63 37.8 33.8 28.4

检验步骤如下：

1．将表3.14资料写成R×C表形式，见表3.15.

表3.15　胆结石类型与部位的关系

结石部位 结 构 类 型 　 胆固醇结石 胆红素结石 其它 合计 　 胆囊 70 16 32 118 　 肝外胆管 12 39 24 75 　 肝内胆管 2 20 7 29 　 合计 84 75 63 222 　

2．H₀：胆结石的类型与部位没有关系

H₁：胆结石的类型与部位有关系

α=0.01

3．求χ²值 将表3.15数值代入式（3.12）得：

4．求自由度，确定P值，作结论。

ν=（3-1）（3-1）=4，查χ²值表得χ²_0.01(4)=13.28，本例χ²=64.06<χ²_0.01。在α=0.01水准处拒绝H₀，接受H₁，胆结石类型与部位有显著关系存在（P<0.01）,胆囊内以胆固醇结石居多，肝内、外胆管以胆红素结石为主。